ABC Formel / Mittlernachtsformel

Die quadratische Gleichung in der allgemeinen Form lautet:

$ax^2 + bx + c = 0$

Die allgemeine Lösung dieser quadratischen Gleichung erfolgt mit Hilfe der ABC Formel, auch Mitternachtsformel genannt. Der Begriff Mitternachtsformel soll dabei ausdrücken dass man sich diese Formel immer parat haben soll. Schüler sollen sie aus dem Stehgreif aufsagen können, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt und nach der Formel fragt.

Beispiele quadratische Gleichungen die mit der ABC Formel gelöst werden können

• $9x^2 - 5x + 3 = 0$
• $5x^2 + 7x - 1 = 0$
• $13x^2 + 8x + 4 = 0$

ABC Formel (Mitternachtsformel)

$\large{x_{1,2} = \frac{-b{\pm}{\sqrt{b^2 - 4ac}}}{2a}}$

Durch Einsetzen von $a, b, c$ erhält man die beiden Lösungen

$\large{x_{1} = \frac{-b{\color{red}+}{\sqrt{b^2 - 4ac}}}{2a}}$
$\large{x_{2} = \frac{-b{\color{red}-}{\sqrt{b^2 - 4ac}}}{2a}}$

Anwendung der ABC Formel

• Die quadratische Gleichung muss zur Anwendung der ABC Formel in Nullform vorliegen, d.h. auf einer der beiden Seiten steht nur eine Null ($0$). Forme die Gleichung ggf. entsprechend um.
• $a, b, c$ aus der Gleichung ablesen
• $a, b, c$ in die ABC Formel einsetzen
• Nun lassen sich die Lösungen berechnen:
  • Lösung für $+\sqrt{...}$
  • Lösung für $-\sqrt{...}$

Anzahl der Lösungen / Diskriminante der ABC Formel

$x_{1,2} = \frac{-b \pm {\sqrt{\colorbox{yellow}{\(b^2 - 4ac\)}}}}{2a}$
Der Term $b^2 - 4ac$ unter der Wurzel der ABC Formel wird Diskriminante genannt. Die Diskriminante einer quadratischen Funktion ermöglicht es eine Aussage zu treffen wieviele Lösungen es gibt.
Die Diskriminante bei der ABC Formel lautet $D = b^2 - 4ac$

Abhängig von der Diskriminante besitzt die ABC Formel eine, zwei oder keine Lösung (im reellen Zahlenraum).

• $b^2 - 4ac > 0$: Die ABC Formel hat zwei Lösungen
• $b^2 - 4ac = 0$: Die ABC Formel hat eine Lösung
• $b^2 - 4ac < 0$: Die ABC Formel hat keine Lösung

Beispiel zur Rechnung mit der ABC Formel

Gelöst werden soll die quadratische Gleichung $4x^2 - 8x + 3 = 0$ mit Hilfe der ABC Formel. Die Gleichung liegt bereits in der Nullform vor, $a, b, c$ können damit direkt abgelesen werden.

$4x^2 - 8x + 3 = 0$

$\begin{align*} a &= 4 \\ b &= -8 \\ c &= 3 \end{align*}$

$\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm {\sqrt{b^2 - 4ac}}}{2a} \\ x_{1,2} &= \frac{-(-8) \pm {\sqrt{-8^2 - 4{\cdot}4{\cdot}3}}}{2{\cdot}4} \\ x_{1,2} &= \frac{-(-8) \pm {\sqrt{64 - 48}}}{8} \\ x_{1,2} &= \frac{8 \pm {\sqrt{16}}}{8} \\ x_{1} &= \frac{8+4}{8} = \frac{3}{2} \\ x_{2} &= \frac{8-4}{8} = \frac{1}{2} \end{align*}$